Переход к полярной системе координат в двойном интеграле

Давайте рассмотрим простой пример перехода из декартовой системы координат в полярную в двойном интеграле :
\[
\underset{D}{\iint}f(x, y)dxdy, D = \{(x, y), x^2 + y^2 \leq by)\}
\]



В этом примере интерес представляет область D, так как в подынтегральной функции переводить особо нечего, только подставить координаты в полярном выражении и умножить на Якобиан.

Будем рассматривать не область D, то есть круг радиуса b/2 ,  а ее контур, то есть окружность радиуса b/2. То есть перейдем от неравенства к уравнению :

\[
 x^2 + \mathbf{y^2}  =  \mathbf{by}
\]

Похоже на уравнение круга, если бы не правая часть by, преобразуем так, что бы справа находилося член, не включающий в себе переменные. Если перенести b/2 влево, добавить в уравнение квадрат b деленый на 4 и вычесть его , то получим бином Ньютона. Получим :

\[
x^2 + y^2  \leq by \\
x^2 + (y - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}  \leq 0  \\

x^2 + (y - \frac{b}{2})^2   \leq  \frac{b^2}{4}
\]
Получили, что область D есть круг с центром в точке O(0, b/2) и радиусом b/2.
 Если посмотреть на уравнение нашей области D, то можно понять, что оно прекрасно, если бы круг не был поднят на b/2 по оси y. А прекрасно оно потому, что круг в декартовой системе координат в полярной системе ограничен простыми прямыми.
Значит поднимем нашу исходную систему координат вверх по y на b/2 в такой системе координат наш круг будет находиться в центре, то есть точке (0, 0)
То есть новые координаты будут равны соответственно :

\[
x' = x \\
y' = y - \frac{b}{2}  \\
\]

Подставим в наше неравенство, получим

\[

(x')^2 + (y - \frac{b}{2})^2   \leq  \frac{b^2}{4} \\

(x')^2 + (y')^2   \leq  \frac{b^2}{4} \\

\]

Таким образом мы рассматриваем наш круг уже в системе коорднат (x', y')

Теперь переходим к полярной системе координат по формулам :
\[
\begin{cases}
 &  x'= \rho cos(\phi)\\
 &  y'= \rho sin(\phi)
\end{cases}
\]

Получим :

\[

(x')^2 + (y')^2   \leq  \frac{b^2}{4} \\

\rho^2 cos^2(\phi) + \rho^2 sin^2(\phi) \leq  \frac{b^2}{4} \\

\rho^2 \leq  \frac{b^2}{4} \\

\]

Так как р это радиус круга, то он не может быть отрицателен, значит :

\[
\rho \leq  \frac{b}{2}
\]

Отсюда следует, что
\[
\rho \in [0, \frac{b}{2}]
\]
а что бы описать замкнутый круг необходимо, что бы :
\[
\phi \in [0, 2\pi ]
\]

Тогда исходный интеграл примет вид :

 \[
\underset{D}{\iint}f(x, y)dxdy=\underset{D}{\iint}f(x', y' + \frac{b}{2})dx'dy'=\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{\frac{b}{2}}f(\rho cos(\varphi), \rho sin(\varphi) + \frac{b}{2})\rho d\rho

\]