Набрел тут давеча на задачи из письменного экзамена для поступающих в ШАД за 2014 год. Вот решение задачи номер 6, которая выглядит следующим образом :
\[
\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx
\]
\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{6}})
\]
Вообще говоря первый интеграл так просто не берется, то есть он не выражается в конечном виде (Фихтенгольц Т.2 стр. 36), так что кидаться на задачу с ломом не стоит. Для начала преобразуем его с помощью подстановки:
\[
t = sin(x^{2})
\]
Откуда :
\[
x = \sqrt{arcsin(t)}
\]
А нижние и верхние пределы соответственно :
\[
a = \frac{1}{2}\\
b = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Теперь распишем сам интеграл после подстановки, преобразуем, а потом проинтегрируем по частям в контексте всей задачи :
\[
\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}td\sqrt{arcsin(t)} + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = t\sqrt{arcsin(t)}\overset{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\underset{\frac{1}{2}}{\mid }} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(t)}dt + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx
\]
Видно, что последние два слагаемых отличаются только знаком и тем фактом, что один взят по t а второй по x, но так как оба интеграла взяты в одних пределах, то мы смело можем их складывать, то есть они уничтожатся, и останется :
\[
x\sqrt{arcsin(t)} \overset{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\underset{\frac{1}{2}}{\mid }} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{6}})
\]
\[
\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx
\]
Для ленивых
\[\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{6}})
\]
Вообще говоря первый интеграл так просто не берется, то есть он не выражается в конечном виде (Фихтенгольц Т.2 стр. 36), так что кидаться на задачу с ломом не стоит. Для начала преобразуем его с помощью подстановки:
\[
t = sin(x^{2})
\]
Откуда :
\[
x = \sqrt{arcsin(t)}
\]
А нижние и верхние пределы соответственно :
\[
a = \frac{1}{2}\\
b = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Теперь распишем сам интеграл после подстановки, преобразуем, а потом проинтегрируем по частям в контексте всей задачи :
\[
\int_{\sqrt{\frac{\pi }{6}}}^{\sqrt{\frac{\pi }{3}}}sin(x^{2})dx + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}td\sqrt{arcsin(t)} + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx = t\sqrt{arcsin(t)}\overset{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\underset{\frac{1}{2}}{\mid }} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(t)}dt + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{arcsin(x)}dx
\]
Видно, что последние два слагаемых отличаются только знаком и тем фактом, что один взят по t а второй по x, но так как оба интеграла взяты в одних пределах, то мы смело можем их складывать, то есть они уничтожатся, и останется :
\[
x\sqrt{arcsin(t)} \overset{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\underset{\frac{1}{2}}{\mid }} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(1 - \frac{1}{\sqrt{6}})
\]
No comments:
Post a Comment