Представление единицы 0,9(9) = 1

Для ленивых

 

Никакого волшебств, ловкость рук и никакого мошенничества! Матерый математик кисло ухмыльнется, вспомнив труды великого и ужасного Фихтенгольца.




Итак,

1) Выделим на числовой прямой два числа :

 2) разделим отрезок (a, b) на десять одинаковых отрезков, получив тем самым десятичные части, то есть

Возьмём последнюю десятичную дробь, то есть 0.9, очевидно что она отличается от нашего b ровнёхонько на 0.1 , или иными словами :

3) Теперь рассматриваем отрезок ( 0.9 , 1 ], его как и в путнке 2 мы делим на десять равных отрезков, получая сотые доли и обращаем наши взоры на последний из них, то бишь на (0.99 ,1]
Для него в свою очередь очевидно, что :

 

4) Теперь рассматриваем отрезок ( 0.99 , 1 ], его как и в путнке 2 и 3 мы делим на десять равных отрезков, получая тысячные  и для последнего отрезка (0.999 ,1] получаем, что :

6) Проделывая эту операцию (деля последний из отрезков на 10 и рассматривая последний из них) n раз мы приходим к тому, что :

Продолжая как уважающие себя математики таким образом до посинючки (то есть до бесконечности), получим бесконечную десятичную дробь 0,999...9... или 0,9(9) , символ, который можно расматривать, как представление  числа 1.

Ура, теперь можно ходить и с умным видом всех спрашивать: "А вы знаете, что 1 = 0,9(9)?".
Собвственно встает вопрос, а какая нам польза с того, что единицу можно представить таким мудреным способом. Да и вообще вся эта игра в считалочки выглядит как плохая шутка, если оторвана от контекста.

В "малом Фихтенгольце" , а именно "Основы математического анализа" на страницах 20-21 автор показывает, что таким образом можно представить любое вещесетвенное (то бишь как рациональное так и иррациональное)  с той лишь разницей, что иррациональное число так в посинючке и останется, то есть его можно выразить только подобным приближением, но с бесконечной точностью, в то время как рационльное (а 1 именно такое число) число на каком-то шаге совпадет с левой частью нашего неравенства (1) и страновится равенством. Но на этом не обязательно останавливаться, можно делить и делить и делить...

Собственно брать можно не только отрезок слева, но и отрезок справа, тогда получатся представления разного рода, а именно с нулем или девяткой в периоде, так что нашу несчастную единицу можно представит так же :

Но это вроде как не так интересно, так как отбрасывать нули справа все с детства привыкли. Но в то же время, дробные рациональные числа, например 2,718 выглядят намного интереснее :

Собственно все!