Сумма арктангенсов, вывод формулы.

Для ленивых

\[
arctg(x) + arctg(y) = arctg(\frac{x + y}{1 - xy})
\]

Разбор данного примера есть в чудной книжке Антидемидович, часть первая, на странице 221, пример 268. Но там скорее не вывод, а доказательство, да и написано оно не самым лучшим (на мой взгляд) образом, хотя как я понимаю, ход рассуждений один и тот же.



Итак, для начала определим что такое арктангенс,

Арктангенс  числа a есть угол, тангенс которого равен а.

Для полноты картины разберем само слово arctangent, стоит обратить внимание на слог arc, что берет свое начало от arcus, что переводится с латыни - "дуга". То бишь тангенс дает длину дуги, соответствующую данному углу,  напряжмся и вспомним формулу расчета длины дуги в окружности: \[ l = \alpha r\\ \: где\: \alpha - угол,\\ а\: r - радиус\: окружности \]
ну а если вспомнить, что в тригонометрии мы оперируем окружностью единичного радиуса, то получаем при r = 1 :
\[ l = \alpha \]

Итак, арктангенс это - угол, тогда примем для удобства :
\[ \alpha = \arctan(x)\\ \beta = \arctan(y)\label{eq:1} \]
 но x и y это в свою очередь результат работы тангенса в силу того, что в этом и есть смысл арктангенса,  так как он функция обратная тангенсу, т.е : \begin{equation} x = \tan (\alpha )\\ y = \tan (\beta ) \end{equation} Значит можем записать : \[ \alpha = \arctan(\tan (\alpha ))\\ \beta = \arctan(\tan (\beta )) \] Сумму двух углов альфа и бета обозеачим буквой пси : \[ \alpha + \beta = \psi \] Тогда, объединив все выше изложенное распишем с самого начала : \begin{equation} arctg(x) + arctg(y) = \alpha + \beta = \psi = \arctan (\tan(\psi) ) = \arctan (\tan(\alpha + \beta) )\end{equation} Опа! получили под арктангенсом тангенс суммы, раскладываем его по формуле  тангенса суммы и подставляем результат в правую часть формулы (2) : \[ \arctan (\tan(\alpha + \beta)) = \arctan (\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}) \] Но, учитывая (1), получаем, что : \[ \arctan (\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}) = \arctan (\frac{x + y}{1 - xy}) \] Вот и все, теперь запишем всю цепочку еще раз для убедительности : \[ arctg(x) + arctg(y) = \alpha + \beta = \psi = \arctan (\tan(\psi) ) = \arctan (\tan(\alpha + \beta) = \arctan (\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}) = \arctan (\frac{x + y}{1 - xy}) \]